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Potenciação de números inteiros

 

Quando vimos operações fundamentais com números naturais, estudamos potenciação. Aprendemos que a potência de um número que tem expoente maior que 1 é um produto de fatores iguais. Como exemplo, vamos calcular (+4)3:

Vimos que:

→ o fator (+4) é a base;
→ o número 3 é o expoente;
→ O resultado dessa operação é denominado de potência.

Então a potência de (+4)3 é: +8.

Para obtermos a potenciação de números inteiros, basta aplicar as regras dos sinais que iremos estudar a seguir:

caso 01: Quando a base é um número positivo

Quando a base for um número positivo, a potência é um  número positivo.

Veja alguns exemplos:

a) (+5)2 = (+5) × (+5) = +25

b) (+7)3 = (+7) × (+7) × (+7) = +343

c) (+3)4 = (+3) × (+3) × (+3) × (+3) = +81

d) (+2)5 = (+2) × (+2) × (+2) × (+2) × (+2) = +32

 

caso 02: Quando a base é um número negativo

Quando a base for um número negativo, a potência é:

POSITIVO, se o expoente for um número par.
NEGATIVO, se o expoente for um número ímpar.

Veja alguns exemplos:

a) (−2)2 = (−2) × (−2) = +4

b) (−2)3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8

c) (−2)4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = +16

d) (−2)5 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = −32

 

Potência de expoente 1 e potência de expoente 0

 

→ Toda potência de expoente 1 é igual à própria base.
→ Toda potência de expoente 0 e a base diferente de 0 é igual a 1.

Exemplos:

a) (−12)0 = 1

b) (+8)1 = 8

c) (−10)1 = −10

d) (+134)0 = 1

 

Propriedades da potenciação

 

Todas as propriedades da potenciação que foram estudadas nos conjuntos dos números naturais também são aplicadas nos conjunto dos números inteiros.

 

1ª propriedade: produto de potências de mesma base

Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma só potência, basta conservar a base e somar os expoentes.

 

am × an = am + n

 

Exemplos:

a) (+4)2 × (+4)3 = (+4)2 + 3 = (+4)5

b) (−10)3 × (−10)4 × (−10)2 = (−10)3 + 4 + 2 = (−10)9

 

2ª propriedade: quociente de potências de mesma base

Para reduzir um quociente de potências de mesma base a uma só potencia, conservamos a base e subtraímos os expoentes.

 

am ÷ an = am−n

(a ≠ 0)

Exemplos:

a) (+4)5 ÷ (+4)3 = (+4)5 − 3 = (+4)2

b) (−10)9 ÷ (−10)2 ÷ (−10)3 = (−10)9 − 2 − 3 = (−10)4

 

3ª propriedade: potência de potência

Para reduzir um potência de potência a uma potência de um só expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes.

 

(am)n = am × n

 

Exemplos:

a) [(+5)2]3 = (+5)2 × 3 = (+5)6

b) (−10)4]5 = (−10)4 × 5 = (−10)20

 

4ª propriedade: potência de um produto (propriedade distributiva da potência)

Para elevar um produto a um expoente, elevamos cada fator a esse expoente.

 

(a · b)m = am · b m

Exemplos:

a) [(−2) · (+5)]3 = (−2)3 · (+5)3

b) [(+3) · (+4)]2 = (+3)2 · (+4)2

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