Quando vimos operações fundamentais com números naturais, estudamos potenciação. Aprendemos que a potência de um número que tem expoente maior que 1 é um produto de fatores iguais. Como exemplo, vamos calcular (+4)³:

Vimos que:

→ o fator (+4) é a base;
→ o número 3 é o expoente;
→ O resultado dessa operação é denominado de potência.

Então a potência de (+4)³ é: +8.

Para obtermos a potenciação de números inteiros, basta aplicar as regras dos sinais que iremos estudar a seguir:

caso 01: Quando a base é um número positivo

Quando a base for um número positivo, a potência é um  número positivo.

Veja alguns exemplos:

a) (+5)² = (+5) × (+5) = +25

b) (+7)³ = (+7) × (+7) × (+7) = +343

c) (+3)⁴ = (+3) × (+3) × (+3) × (+3) = +81

d) (+2)⁵ = (+2) × (+2) × (+2) × (+2) × (+2) = +32

caso 02: Quando a base é um número negativo

Quando a base for um número negativo, a potência é:

→ POSITIVO, se o expoente for um número par.
→ NEGATIVO, se o expoente for um número ímpar.

Veja alguns exemplos:

a) (−2)² = (−2) × (−2) = +4

b) (−2)³ = (−2) × (−2) × (−2) = −8

c) (−2)⁴ = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = +16

d) (−2)⁵ = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = −32

Potência de expoente 1 e potência de expoente 0

→ Toda potência de expoente 1 é igual à própria base.
→ Toda potência de expoente 0 e a base diferente de 0 é igual a 1.

Exemplos:

a) (−12)⁰ = 1

b) (+8)¹ = 8

c) (−10)¹ = −10

d) (+134)⁰ = 1

Propriedades da potenciação

Todas as propriedades da potenciação que foram estudadas nos conjuntos dos números naturais também são aplicadas nos conjunto dos números inteiros.

1ª propriedade: produto de potências de mesma base

Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma só potência, basta conservar a base e somar os expoentes.

a^m × aⁿ = a^{m + n}

Exemplos:

a) (+4)² × (+4)³ = (+4)^{2 + 3} = (+4)⁵

b) (−10)³ × (−10)⁴ × (−10)² = (−10)^{3 + 4 + 2} = (−10)⁹

2ª propriedade: quociente de potências de mesma base

Para reduzir um quociente de potências de mesma base a uma só potencia, conservamos a base e subtraímos os expoentes.

a^m ÷ aⁿ = a^m−n

(a ≠ 0)

Exemplos:

a) (+4)⁵ ÷ (+4)³ = (+4)^{5 − 3} = (+4)²

b) (−10)⁹ ÷ (−10)² ÷ (−10)³ = (−10)^{9 − 2 − 3} = (−10)⁴

3ª propriedade: potência de potência

Para reduzir um potência de potência a uma potência de um só expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes.

(a^m)ⁿ = a^{m × n}

Exemplos:

a) [(+5)²]³ = (+5)^{2 × 3} = (+5)⁶

b) (−10)⁴]⁵ = (−10)^{4 × 5} = (−10)²⁰

4ª propriedade: potência de um produto (propriedade distributiva da potência)

Para elevar um produto a um expoente, elevamos cada fator a esse expoente.

(a · b)^m = a^m · b ^m

Exemplos:

a) [(−2) · (+5)]³ = (−2)³ · (+5)³

b) [(+3) · (+4)]² = (+3)² · (+4)²