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Aplicação das propriedades da igualdade na resolução de equações

 

Resolver uma equação é determinar o seu conjunto verdade, considerando o conjunto universo dado. Para resolver uma equação, devemos reduzi-la à equação mais simples equivalente à equação dada. Para facilitar nesse processo, conheça agora algumas propriedades da igualdade:

 

→ Aplicação da propriedade aditiva

 

Observe alguns exemplos:

a) Seja a equação x – 3 = 5, em que V = {8}. Somando 3 aos dois membros dessa equação, temos:

x – 3 + 3 = 5 + 3
x + 0 = 5 + 3
x = 8

As equações  x – 3 = 5, x + 0 = 5 + 3 e= 8 têm o mesmo conjunto verdade e portanto são equivalentes.

b) Seja a equação x + 5 = 9, em que V = {4}. Somando –5 aos dois membros dessa equação, temos:

x +5 – 5 = 9 – 5
x + 0 = 9 – 5
x = 4

As equações  x + 5 = 9, x + 0 = 9 – 5 e= 4 têm o mesmo conjunto verdade e portanto são equivalentes.

Com isso mostramos que, aplicando a propriedade aditiva de uma igualdade, podemos transformar uma equação de 1º grau numa outra mais simples, equivalente a ela, e, dessa forma, obter a sua solução.

Veja alguns exemplos:

a) Determine o conjunto verdade da equação: x + 7 = 12 (U = Q)

Aplicando a propriedade aditiva, temos:

x = 12 – 7
x = 5

Logo, V = {5}.

b) Determine o conjunto verdade da equação: x – 17 = – 9 (U = Q)

Aplicando a propriedade aditiva, temos:

x = –9 + 17
x = 8

Logo, V = {8}.

 

→ Aplicação da propriedade multiplicativa

 

Veja o seguinte exemplo:

Tomemos a equação 3x =12, em que V = {4}, pois 3 × 4 = 12. Dividindo os dois membros dessa equação por 3, temos:

As equações 3x = 12 e x = 4 são equivalentes.

Assim, podemos afirmar que:

 

Dividindo os dois membros de uma equação por um número diferente de zero, obtemos uma equação equivalente à equação dada.

 

Vamos agora algumas equações, sendo U = Q:

Veja o seguinte exemplo:

Seja a equação \frac{2x}{3}=\frac{12}{3}, em que V = {6}, pois \frac{2 \times 6}{3} = \frac{12}{3}. Multiplicando os dois membros dessa equação por 3 (o que é o denominador comum das frações), temos:

AS equações \frac{2x}{3} = \frac{12}{3} e 2x = 12 são equivalentes.

Assim, podemos estabelecer que:

 

Quando todos os termos de uma equação têm o mesmo denominador, este pode ser cancelado multiplicando os dois membros dessa equação por esse denominador, e a nova equação assim obtida é equivalente à equação dada.

 

Agora, veja alguns exemplos:

a) \frac{5x}{7}=\frac{20}{7}

Multiplicando os dois membros por 7, cancelaremos os denominadores:

5x = 20

Dividindo os dois membros por 5, temos:

\frac{5x}{5}=\frac{20}{5}, ou seja, x = 4

Logo, V = {4}.

b) \frac{2x}{5}=-\frac{7}{5}

Multiplicando os dois membros por 5, cancelaremos os denominadores:

2x=-7

Dividindo os dois membros por 2, temos:

\frac{2x}{2}=-\frac{7}{2}, ou seja, x=-\frac{7}{2}

Logo, V ={ -\frac{7}{2}}

c) \frac{x}{2}=\frac{5}{3}

Nesse caso, os denominadores são diferentes. Para resolver essa equação, basta reduzir as frações ao mesmo denominador comum, o mmc. O mmc de (2,3)  = 6:

\frac{3x}{6}=\frac{10}{6}

Cancelando os denominadores, fica:

3x=10

Dividimos os dois membros por 3:

\frac{3x}{3}=\frac{10}{3}, ou seja, x=\frac{10}{3}

Logo, V ={ \frac{10}{3}}

Veja o seguinte exemplo:

Considere a equação –2x = 12, em que V = {–6}, pois –2 × (–6) = 12. Multiplicando os dois membros dessa equação por –1, temos:

2x = 12 e V = {–6}, pois –2 × (–6) = –12

As equações –2x = 12 e 2x = –12 são equivalentes.

O exemplo nos mostra que:

 

Podemos trocar os sinais de todos os termos de uma equação, pois isso equivale a multiplicar os dois membros da equação por –1

 

Vamos agora resolver algumas equações, sendo U = Q:

 

Caso tenha alguma dúvida, critica ou sugestão ao conteúdo, fique a vontade de deixar um comentário abaixo.

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